1. Kedudukan Titik, Garis, Dan Bidang Pada Bangun Ruang Kubus
a. Kedudukan titik terhadap garis.
oleh garis.
b.
Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Contoh soal kedudukan titik :
1). Pada kubus ABCD.EFGH, Terhadap bidang DCGH, tentukanlah:
a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!
b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!
Penyelesaian :
Pandang kubus ABCD.EFGH, pada bidang DCGH dapat diperoleh:
a). Titik sudut yang berada di bidang DCGH adalah D, C, G, dan H.
b). Titik sudut yang berada di luar bidang DCGH adalah A, B, E, dan F
c. Kedudukan Garis terhadap Garis
Kedudukan garis terhadap garis adalah berimpit, berpotongan, sejajar, dan bersilangan. Sedangakan kedudukan garis terhadap bidang adalah berpotongan atau sejajar.
Contoh soal :
Perhatikan kubus ABCD.EFGH di bawah ini,
Pada gambar kubus di samping, garis AB :
*). berimpit dengan garis AB,
*). berpotongan dengan garis AD, BC, BF, AE
*). sejajar dengan garis DC, HG, EF
*). bersilangan dengan garis FC, CG, FG, EH, dan lainnya
*). terletak pada bidang ABCD, ABFE
*). memotong bidang BCGF, ADHE,
*). sejajar dengan bidang CDHG, EFGH
d. Kedudukan Bidang terhadap Bidang
Kedudukan bidang terhadap bidang yaitu berimpit, berpotongan, dan sejajar.
Contoh soal :
Perhatikan kubus ABCD.EFGH .
Pada gambar kubus di atas, bidang ABCD? :
*). berimpit dengan bidang ABC,
*). berpotongan dengan bidang BCGF, ABFE, ADHE, CDHG
*). sejajar dengan bidang EFGH
e. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
1. Garis Terletak dengan Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
2. Garis Sejajar dengan Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.
3. Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus..
Sebagai contoh: , perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :
1. Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk - rusuk
EF, EH, FG, dan GH
2. Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
3. Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini,
Beberapa hal akan kita peroleh dari kedudukan titik, garis, dan
bidang yaitu :
*). AH dan GE bersilangan,
*). EC tegak lurus bidang BDG,
*). BE tegak lurus bidang ADGF,
*). AC bersilangan tegak lurus dengan DH,
*). AC bersilangan tidak tegak lurus dengan EB,
*). BG adalah titik potong antara bidang ABGH dan bidang BDG
*). EF tegak lurus dengan bidang BCGF, artinya semua garis yang ada pada bidang BCGF akan tegak lurus dengan garis EF, seperti garis EF tegak lurus dengan garis FG, garis EF tegak lurus dengan garis FB, garis EF tegak lurus dengan garis BC, garis EF tegak lurus dengan garis CG, garis EF tegak lurus dengan garis BG, garis EF tegak lurus dengan garis FC, dan EF tegak lurus dengan semua garis lain yang ada pada bidang BCGF.
Berikut beberapa pernyataan yang terkait dengan kedudukan titik, garis, dan bidang
i) . Jika bidang V tegak lurus dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V tegak lurus dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W tegak lurus dengan bidang V.
ii) . Jika bidang V sejajar dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V sejajar dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W sejajar dengan bidang V.
2. Melukis Proyeksi Miring Kubus
Kubus adalah salah satu bangun ruang dimensi tiga yang memiliki semua rusuk sama panjang. Pernahkan teman-teman diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus? Jika kita diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus, maka setiap orang pasti akan menghasilkan bentuk yang berbeda. Jadi, untuk melukis sebuah kubus kita dituntut untuk mengetahui cara atau tahap demi tahap dalam melukis kubus yang benar.
Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus
Berikut ini beberapa istilah yang harus kita ketahui dalam menggambar atau melukis kubus yaitu : Bidang gambar, bidang frontal, bidang orthogonal, garis frontal, garis orthogonal, sudut surut atau sudut miring atau sudut menyisi, dan perbandingan orthogonal. Untuk penjelasannya, kita simak berikut ini.
Berikut penjelasan masing-maasing istilah pada menggambar kubus :
1). Bidang Gambar
Bidang gambar adalah suatu bidang tempat untuk menggambar atau melukis suatu bangun ruang (kubus). Bidang gambar selalu ada di hadapan pengamat. Perhatikan kubus berikut ini, bidang gambar ditunjukkan oleh bidang ββ yaitu bidang yang dibatasi warna biru.
2). Bidang Frontal
Bidang Frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Ukuran bidang frontal sesuai dengan ukuran pada kubusnya. perhatikan contoh berikut ini, bidang frontal ditunjukkan oleh bidang ABFE dan bidang CDHG.
3). Bidang Orthogonal
Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang gambar. Bidang orthogonal digambarkan tidak sesuai dengan ukuran sebenarnya. pada gambar berikut, bidang orthogonalnya adalah ABCD, EFGH, BCGF, dan ADHE.
4). Garis frontal
Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal (sejajar bidang frontal). Pada gambar berikut ini, garis frontalnya yaitu : garis frontal horizontal adalah AB, EF, CD, dan GH, garis frontal vertikal adalah AE, BF, CG, dan DH.
5). Garis Orthogonal
Garis orthogonal adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal (sejajar bidang orthogonal). Panjang garis frontal tidak sama dengan panjang sebenarnya. Panjang garis ortogonal ditentukan dengan menggunakan perbandingan ortogonalnya.
Pada gambar berikut ini, garis orthogonalnya yaitu AD, BC, FG, dan EH.
6). Sudut Surut
Sudut surut adalah sudut dalam gambar yang besarnya ditentukan oleh garis frontal horizontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Perhatikan gambar berikut, sudut surutnya adalah sudut BAD dan sudut FEH.
7). Perbandingan Orthogonal
Perbandingan ortogonal adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal yang dilukiskan atau digambar dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya.
Pada gambar, ada 4 garis orthogonalnya yang memiliki panjang sama yaitu
AD=BC=FG=EH.
Perbandingan orthogonal dapat dirumuskan :
panjang garis yang dilukiskanpanjang garis yang sebenarnyapanjang garis yang dilukiskanpanjang garis yang sebenarnya.
Misalkan panjang AD sebenarnya adalah 6 cm dan perbandingan orthogonalnya adalah
, maka panjang AD yang dilukis dapat dihitung yaitu :
Perbandingan orthogonal =
=
=
AD dilukis =
x 6
AD dilukis = 4
Artinya pada gambar, panjang AD yang kita lukis adalah 4 cm.
Contoh soal :
Lukislah atau gambarlah proyeksi miring pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm, sudut surut 45∘ dan perbandingan ortogonalnya .
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar kubus ABCD.EFGH adalah :
1). Gambar bidang ABFE berupa persegi dengan panjang AB = 9 cm, AE = 9 cm
2). Gambar garis AD yang akan dilukis dengan perbandingan ortogonalnya
panjang AD yang dilukis =
X 9 =6 CM
3). Gambar garis AD yang membentuk sudut 45∘ (sudut surutnya) dengan garis horisontal AB.
4). Buat garis BC sejajar AD, CD sejajar AB, CG dan DH sejajar AE.
5). Lengkapkan garis-garis yang belum ada sehingga lengkap membentuk
kubus berikut ini.
3. Sudut Dalam Bangun Ruang Kubus
Sudut yang akan kita pelajari adalah sudut antara garis dan garis, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara bidang dan bidang.Kalian masih ingat, bahwa hanya dua garis berpotongan atau dua garis bersilangan saja yang mempunyai sudut ? Sekarang kita akan mempelajari materi sudut antara dua garis baik yang berpotongan maupun yang bersilangan.
a) Sudut Antara Garis Dengan Garis.
Kita ketahui bahwa kedudukan dua buah garis ada empat yakni: dua garis saling berimpit, saling sejajar, saling berpotongan, dan saling bersilangan.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan dua buah garis yang saling sejajar dan dua buah garis saling berimpit. Sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0°
Sekarang perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Perhatikan garis AB (garis v) dan AE (garis u)! Kedua garis tersebut (garis udan garis v) berpotongan di titik A dan sudut yang dibentuk adalah ∠A atau biasanya ditulis ∠( u,v). Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan merupakan sudut yang berada di titik potong antara dua garis itu dan sinar garisnya sebagai kaki sudut.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis BD (garis y) dan garis FH (garis x)! Kedua garis tersebut saling bersilangan. Garis BD (garis y) sejajar dengan garis FH (garis z) dan garis x dan garis z saling berpotongan. Jadi, sudut antara dua garis bersilangan (misalkan x dan y bersilangan) merupakan sudut yang berada di titik potong antara garis x dengan garis z, di mana garis z sejajar dengan garis y, dan garis xbersilangan dengan garis z.
Perlu di ingat**
Sudut antara garis x dengan garis y dilambangkan dengan ∠(x,y)
Jika besar ∠(x,y) = 90° serta x dan y berpotongan, maka garis x dan y dikatakan berpotongan tegak lurus; dan x dan y bersilangan, maka garis x dan x dikatakan bersilangan tegak lurus.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sudut yang dibentuk oleh sudut antara garis dan garis silahkan lihat dan pahami contoh soal di bawah ini
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Jika titik P berada di tengah-tengah rusuk AB, titik Q berada di
tengah-tengah diagonal sisi BD, dan panjang rusuk kubus 10 cm. (a)
Tentukan besar sudut antara garis AF dan garis FP. (b) Tentukan besar
sudut garis AG dengan GQ!
Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.
Sudut yang dibentuk oleh garis AF dengan garis FP adalah ∠α. Untuk
mencari besar ∠α Anda harus mencari panjang AF, panjang FP, dan panjang
AP.
AP = ½ AB
AP = ½ 10 cm
AP = 5 cm
Cari panjang AF dengan rumus panjang diagonal sisi kubus yakni:
AF = s√2
AF = 10√2 cm
Cari panjang FP dengan teorema phytagoras yakni:
FP = √(BF2 + BP2)
FP = √(102 + 52)
FP = √125
FP = 5√5 cm
Cari besar ∠α dengan aturan cosines yakni:
AP2 = AF2 + FP2 – 2AF.FP.cos α
52 = (10√2)2 + (5√5)2 – 2. 10√2. 5√5.cos α
25 = 200 + 125 – 100√10.cos α
100√10.cos α = 200 + 125 – 25
100√10.cos α = 300
cos α = 300/(100√10)
cos α = 3/√10
cos α = 3√10/10
arc cos 3√10/10 = 18,43° (Gunakan kalkulator di sini )
Jadi, besar sudut antara garis AF dan garis FP adalah 18,43°
(b) Perhatikan gambar di bawah ini.
Sudut yang dibentuk oleh garis AG dengan garis GQ adalah ∠β. Untuk
mencari besar ∠β Anda harus mencari panjang AG, panjang GQ, dan panjang
AQ. Panjang AC = DB yang merupakan diagonal sisi kubus, yakni:
AC = s√2
AC = 10√2
AQ = ½ AC
AQ = ½ 10√2 cm
AQ = 5√2 cm
Cari panjang AG dengan rumus panjang diagonal ruang kubus yakni:
AG = s√3
AG = 10√3 cm
Cari panjang GQ dengan teorema phytagoras yakni:
GQ = √(CQ2 + CG2)
GQ = √((5√2)2 + 102)
GQ = √150
GQ = 5√6 cm
Cari besar ∠β dengan aturan cosines yakni:
AQ2 = AG2 + GQ2 – 2AG.GQ.cos β
(5√2)2 = (10√3)2 + (5√6)2 – 2. 10√3. 5√6. cos β
50 = 300 + 150 – 100√18. cos β
50 = 450 – 300√2. cos β
300√2. cos β = 450 – 50
300√2. cos β = 400
cos α = 400/(300√2)
cos β = 4/3√2
cos β = 4√2/6
cos β = 2√2/3
arc cos 2√2/3 = 19,47°
Jadi, besar sudut garis AG dengan GQ adalah 19,47°
b) Sudut Antara Garis Dan Bidang
Kita telah ketahui bahwa kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Bagaimana cara mencari besar sudut antara garis dan bidang?
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan garis terletak di bidang atau
berimpit dengan bidang dan kedudukan garis sejajar dengan bidang. Kita
ketahui bahwa bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya
terdiri dari lebih dari satu buah garis (silahkan baca:
pengertian titik, garis dan bidang
). Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang
sejajar dan garis yang berimpit adalah 0° (silahkan baca:
sudut antara garis dan garis dalam bangun ruang
). Maka sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang saling sejajar
dan saling berimpit adalah 0°.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Pada gambar di atas merupakan sebuah garis g yang menembus
bidang ABCD di titik O. Proyeksi gari g akan membentuk garis
EF yang berimpit dan sejajar dengan bidang ABCD. Besar sudut yang
dibentuk oleh garis g dengan bidang ABCD adalah sudut yang
dibentuk oleh garis g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar
β. Jadi, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis tersebut dengan
proyeksinya pada bidang.
Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang dalam bangun ruang dimensi tiga silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P
berada di tengah rusuk AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika
titik potong garis BD dengan garis PQ adalah R.
(a) Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ!
Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh
garis DR dengan bidang HPQ adalah α.
Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:
PQ = √(BP2 + BQ2)
PQ = √(22 + 22)
PQ = √(4 + 4)
PQ = 2√2 cm
Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:
BR = √(BP2 – PR2)
BR = √(22 – (√2)2)
BR = √(4 – 2)
BR = √2 cm
Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang DR
DR = BD – BR
DR = 4√2 cm –√2 cm
DR = 3√2 cm
tan α = DH/DR
tan α = 4 cm/(3√2 cm)
tan α = 4√2/6
tan α = 2√2/3
arc tan 2√2/3 = 43,31°
Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31°.
(b) Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis HR dan bidang FPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh
garis DR dengan bidang HPQ adalah β.
Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:
PQ = √(BP2 + BQ2)
PQ = √(22 + 22)
PQ = √(4 + 4)
PQ = 2√2 cm
Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:
BR = √(BP2 – PR2)
BR = √(22 – (√2)2)
BR = √(4 – 2)
BR = √2 cm
Cari panjang FR, yakni:
FR = √(BR2 + BF2)
FR = √((√2)2 + 42)
FR = √18
FR = 3√2 cm
Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang DR
DR = BD – BR
DR = 4√2 cm –√2 cm
DR = 3√2 cm
Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni:
HR = √(DH2 + DR2)
HR = √(42 + (3√2)2)
HR = √34 cm
Cari besar ∠β dengan aturan cosinus yakni:
FH2 = HR2 + FR2 – 2.HR.FR.cos β
42 = (√34)2 + (3√2)2 – 2.√34.3√2. cos β
16 = 34 + 18 – 6√68. cos β
16 = 52 – 12√17. cos β
12√17. cos β = 52 – 16
12√17. cos β = 36
cos β = 36/(12√17)
cos β = 3/√17
cos β = 3√17/17
arc cos 3√17/17 = 36,04°
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ adalah36,04°
c) Sudut Antara Bidang Dan Bidang
Kita telah ketahui bahwa kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu dua bidang yang saling berimpit, sejajar, dan berpotongan. Bagaimana mencari besar sudut yang dibentuk dua buah bidang?
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan bidang terhadap bidang lainnya . Gambar pertama merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling berimpit dan gambar kedua merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling sejajar. Kita ketahui bahwa pengertian bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis (silahkan baca: pengertian titik, garis dan bidang ).
Kita juga ketahui bahwa sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang
sejajar atau garis yang berimpit adalah 0° (silahkan baca:
sudut antara garis dan garis dalam bangun ruang
). Selain itu sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang sejajar
dan yang berimpit adalah 0° (silahkan baca:
sudut antara garis dan bidang dalam bangun ruang
. Maka sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang saling sejajar atau
saling berimpit juga sama dengan 0°.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan dua buah bidang yang saling berpotongan, di
mana bidang ABCD saling berpotongan dengan bidang EFGH di garis g. Adapun cara menentukan sudut yang dibentuk
oleh dua bidang ABCD dan bidang EFGH di atas adalah sebagai berikut.
=> Membuat garis IJ yang tegak lurus dengan garis g dan berimpit dengan bidang ABCD serta berpotongan di titik M
=> Membuat garis LK yang tegak lurus juga dengan g dan berimpit dengan garis EFGH serta bepotongan di titik M
=> Sudut lancip yang dibentuk oleh garis IJ dan LK (sudut α) merupakan sudut yang dibentuk oleh dua bidangn tersebut.
Jadi, sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH
Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 4 cm, jika α adalah sudut yang
dibentuk oleh ACF dan ACGE, maka tentukan nilai sin α dan hitung besar
sudut α!
Penyelesaian:
Perhatikan gambar di bawah ini.
Cari panjang BD dengan rumus panjang diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang FS dengan teorema phytagoras, di mana panjang BS merupakan setengah panjang diagonal bidang BD.
BS = ½ BD = ½ . 4√2 cm = 2√2 cm
FS = √(BS2 + BF2)
FS = √((2√2)2 + 42)
FS = √24
FS = 2√6 cm
sin α = FT/FS (FT = BS)
sin α = (2√2)/(2√6)
sin α = √2/√6
sin α = 1/√3
sin α = (1/3)√3
arc sin (1/3)√3 = 35,26°
Jadi, nilai sin α dan besar sudut α adalah (1/3)√3 dan 35,26°
4. Jarak Pada Bangun Ruang Kubus
Jarak selalu dikaitkan dengan hubungan letak dari dua benda
Jarak antara dua buah bangun adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik dari kedua bangun itu.
Dapat menerima apabila dibedakan antara jarak sebagai ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik pada kedua bangun, dengan jarak sebagai bilangan yang menyatakan panjang dari ruas garis terpendek itu.
Dalam pemecahan soal tentang jarak antara dua bangun. Terlebih dahulu harus menetapkan atau melukis jaraknya, baru setelah itu diusahakan menetapkan panjang dari ruas garis itu.
Jarak antara dua buah titik adalahruas garis yang menghubungkan kedua
titik itu
-Menunjukkan bahwa jarak antara titik A dan B dalah ruas garis AB
Jarak antara sebuah titik dan sebuah garis
adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dan titik kaki garis
tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut.
Menunjukkan jarak antara titik P dan garis g. Jika
adalah titik kaki garis tegak lurus dari P ke g, atau
juga disebut proyeksi P pada garis g, maka jarak antara titik P dan
garis g, yaitu d, ditinjukkan oleh ruas garis
Jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang
adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada
bidang tersebut.
Dengan demikian selalu berlaku garis
< garis PQ yang berarti garis
merupakan ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P dengan
titik-titik pada bidang ὰ. Dengan perkataan lain garis
adalah jarak antara titik P dan bidang ὰ.
Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik itu pada garis yang lain.
Ditunjukkan jarak antara garis a dan b yang sejajar. P adalah sembarang titik pada garis a dan
adalah proyeksi tiitk P pada garis b. Jarak antara garis a dan b
dinyatakan oleh
. Jika dipilih titik sembarang lainnya , misalnya Q, dan proyeksinya
pada garis b adalah
, maka jarak antara garis a dan b juga dapat dinyatakan oleh garis
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa jika garis
= d, maka garis
=garis
=d, karena a//b sehingga
merupakan sebuah persegi panjang.
Jarak antara dua bidang sejajar dua buah bidang yang sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah sebuah titik pada salah satu bidang itu dengan proyeksinya pada bidang yang kedua.
Jarak antara dua bidang sejajar sama dengan jarak antara sembarang salah satu titik pada bidang yang satu ke bidang yang kedua.
Jika titik Q sembarang titik yang lain pada ὰ dan
proyeksinya pada ᵦ, maka
=
, berarti dipilih sembarang titik pada salah satu bidang itu untuk
meninjau atau mencari jarak antara dua bidang sejajar.
Karena
bidang ᵦ, sedang ὰ//ᵦ, maka
, juga tegak lurus pada bidang ὰ. Jadi jarak antara dua bidang sejajar
merupakan ruas garis penghubung yang tegak lurus pada kedua bidang
tersebut.
Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua garis.
5. Sumbu Simetri Pada Bangun Ruang Kubus
Simetri pada kubus ada 2 yaitu simetri cermin dan simetri putar
Pengertian simetri :
Sebuah bangun dikatakan simetri cermin, jika bangun itu dapat dibagi dua oleh bidang tertentu, yang jika bidang tersebut dipandang sebagai sebuah cermin, maka bagian yang satu dari bangun itu merupakan bayangan cermin dari bayangan lain.
Dalam hubungan ini bidang pembagi tadi, yang seolah-olah berperan sebagai sebuah cermin selanjutnya disebut bidang simetri. Kedua bagian benda itu kemudian dikatakan simetri terhadap bidang simetrinya
Sebuah bidang dikatakan simetri putar, jika pada sebuah bangun dapat ditetapkan sebuah garis tertentu, sehingga dengan memutar bangun itu sekeliling garis tersebut sejauh satu putaran penuh, bangun itu dapat menempati kembali tempatnya sebanyak n kali, maka dikatakan bahwa bangun itu memiliki simetri putar tingkat n.
Maka garis itu selanjutnya disebut sumber simetri putar, atau sering
kali cukup banyak disebut sumbu simetri.
AB tegak lurus bidang PQRS dan AP=PB, hal ini berarti titik B dapat dipandang sebagai bayangan cermin dari titik A terhadap bidang PQRS. Demikian juga dapat ditunjukkan bahwa:
- Titik C adalah bayangan cermin titik D terhadap bidang PQRS
- Titik G adalah bayangan cermin titik H terhadap bidang PQRS
- Titik F adalah bayangan cermin titik E terhadap bidang PQRS
Dan pada umunya setiap titik pada bagian dari kubus ABCD.EFGH ysng terletak di sebelah kanan dari bidang PQRS, yaitu bangun PBCQSFGR, merupakan bayangan cermin dari sebuah titik yang terletak pada bayangan APQDESRH, terhadap bidang PQRS.
Kesimpulan :
Bangun PBCQSFGR merupakan bayangan cermin dari bayangan APQDESRH terhadap bidang PQRS.
Karena pengertian simetri, bidang PQRS disebut bidang simetris dari kubus ABCD EFGH.
Ciri-ciri bidang simetri
- Bidang simetri adalah bidang yang melalui titik pertengahan keempat rusuk sejajar dari kubus itu yaitu rusuk-rusuk AB,DC,EF, dan HG.
Karena kubus ABCDEFGH juga mempunyai pasangan-pasangan rusuk sejajar yang lain
Gambar 3.14 menunjukkan kubus yang sama. Bidang BDHF adalah salah satu bidang dari kubus ABCDEFGH. Bidang diagonal BDHF tersebut membagi kubus menjadi dua bagian yaitu bangun ABDEFH dan bangun BCDFGH, kedua bangun itu letaknya sedemikian rupa sehingga apabila bidang BDHF dipandang sebagai cermin, maka bangun BCDFGH merupakan bayangan dari bangun ABDEFH terhadap cermin itu.
Kesimpulan :
Menurut pengertian simetri, bidang diagonal BDHF adalah bidang simetri dari kubus ABCD.EFGH
Seperti tiga bidang simetri diatas, akan menemukan bidang diagonal lainnya dari kubus, sebagai bidang-bidang simetri dari kubus.
Kubus mempunyai 12 buah rusuk yang sepasang-sepasang berhadapan. Setiap rusuk berhadapan menentukan sebuah bidang diagonal. Jadi ada 6 bidang diagonal, berarti terdapat 6 bidang simetri lagi pada kubus, selain 3 bidang simetri yang bukan bidang diagonal.
· Simetri putar pada kubus
Kubus ABCDEFGH, garis g adalah garis yang menghubungkan titik-titik
pusat bidang alas ABCD dan bidang atas EFGH
Jika kubus diputar mengelilingi garis sejauh satu putaran penuh, maka kubus itu akan menempati tempatnya dalamruang sebanyak 4 kali. Putaran itu jika diliat dari arah vertikal di atas bidang EFGH akan tampak seperti gambar 3.16
Dan digambarkan sebagai peristiwa memutar bujur sangkar ABCD sekeliling titik pusat P atau memutar Bujur sangkar EFGH sekeliling titik pusatnya Q sejauh satu putaran penuh. Dari geometri bidang tersebut telah diketahui bahwa perputaran bujur sangkar ABCD atau bujursangkar EFGH akan menempati tempatnya sebanyak empat kali.
Dari putaran tersebut Kubus ABCDEFGH memiliki simetri putar tingkat empat, dengan garis g sebagai sumbu simetrinya. Terdapat garis garis lain yang memiliki sifat garis g diatas, yaitu yang letaknya demikian rupa sehingga jika kubus diputar mengelilingi garis itu sejauh satu putaran penuh akan menempati tempatnya empat kali. Garis-garis lain yang memiliki sifat seperti garis g adalah garis-garis yang menghubungkan titik-titik asal dua sisi yang berhadapan.
Kesimpulan
: bahwa kubus mempunyai simetri tingkat empat dengan tiga buah sumbu
simetri yang masing-masing merupakan garis hubung titik-titik pusat
dari dua sisi yang berhadapan.
Membuat sebuah garis p yang menghubungkan pertengahan-pertengahan dua rusuk yang berhadapan pada kubus ABCDEFGH, misalnya garis p itu menghubungkan pertengahan rusuk-rusuk berhadapan AE dan CG. Pada gambar 3.17.
Dengan memutar kubus ABCDEFGH sekeliling garis p sejauh satu putaran, maka kubus ABCDEFGH akan menempati tempatnya dua kali.
Dengan demikian, maka menurut definisi berarti bahwa kubus ABCDEFGH itu memiliki simetri putar tingkat dua dengan garis p sebagai sumbu simetrinya.
Garis p merupakan garis yang menghubungkan pertengahan dua rusuk sejajar. Dalam sebuah kubus terdapat dua belas rusuk yang letaknya dua-dua atau sepasang-sepasang sejajar. Dengan demikian dalam sebuah kubus terdapat enam pasang rusuk sejajar, jadi menentukan enam buah garis.
Karena tidak mungkin menemukan lagi garis-garis lain yang dapat dijadikan sumbu simetri putar pada kubus. Maka Kubus memiliki :
- Simetri putar tingkat dua, dengan 6 buah sumbu simetri, yang masing-masing berupa garis yang melalui pertengahan dua rusuk yang berhadapan
- Simetri putar tingkat tiga, dengan 4 buah sumbu simetri, yang masing-masing berupa garis yang memuat digonal ruan
- Simetri putar tingkat empat, dengan 3 buah sumbu simetri yang masing-masing berupa garis yang melalui titik-titik pusat dari dua sisi yang berhadapan
6. Jaring-Jaring Pada Bangun Ruang Kubus
a. Jaring-jaring Kubus
Jaring-jaring kubus adalah bangun datar dari bukaan bangun ruang menurut rusuknya dan apabila dipotong menurut rusuk-rusuknya kemudian tiap sisinya direntangkan akan menghasilkan jaring-jaring kubus juga. Jaring-jaring kubus terdiri dari enam buah persegi kongruen yang saling berhubungan.
b. Membuat Jaring-jaring Kubus
Apabila pada bagian tadi kita membuat jaring-jaring kubus dengan cara
memotong kubus yang sudah jadi menurut rusuk-rusuknya, sekarang kita
akan membuat jaring-jaring kubus. Enam buah persegi yang kongruen kalau
disusun belum tentu merupakan jaring-jaring kubus. Susunan persegi
tersebut merupakan jaring-jaring kubus apabila dilipat kembali keenam
sisi kubus tepat tertutup oleh 6 buah persegi yang kongruen tersebut.
ADA 11 MODEL JARING-JARING KUBUS :
Contoh soal :
a. Perhatikan jarring-jaring kubus di bawah ini. Jika nomer 3 sebagai alas kubus, nomor berapakah yang merupakan tutup kubus?
Jawab :
untuk mempermudah menjawab soal tersebut, buatlah jarring-jaring tersebut pada kertas lalu gunting. Susun menjadi sebuah kubus, sehingga akan diperoleh tutup kubus adalah nomor 5.
b. Diketahui kubus KLMNOPQR. Lengkapilah titik-titik pada jaring-jaring di bawah ini.
7. Luas Permukaan Kubus Dan Volume Kubus
Karena permukaan kubus terdiri dari enam buah persegi dengan ukuran yang sama, maka luas kubus dengan panjang rusuk p adalah:
Luas = 6 x luas persegi
= 6p²
Contoh soal :
1. Hitung Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 7 cm !
Jawab :Luas permukaan kubus = 6 x s2
= 6 x 72
= 6 x 49
= 294 cm2
2. Hitung Luas permukaan kubus jika luas salah satu sisinya 10 cm 2 !
Jawab :Luas salah satu sisi = 10
s2 = 10
Luas permukaan kubus = 6 x s2
= 6 x 102
= 6 x 100
= 600 cm2
3. Luas permukaan kubus adalah 600 cm2. Hitung panjang rusuk kubus tersebut !
Jawab :Luas permukaan kubus = 6 x s2 600 = 6 x s2
s2 = 600/6
s2 = 100
s = 10 cm
Sehingga:
volume kubus = panjang rusuk × panjang rusuk × panjang rusuk
= s × s × s
= s3
Jadi, volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut.
Contoh Soal:
1. Hitung Volume kubus yang mempunyai rusuk 9 cm !
Jawab : Volume = s3
= 93
= 729 cm3.
2. Hitung Volume kubus jika luas salah satu sisinya 9 cm2 !
Jawab : Luas salah satu sisi = 9
s2 = 9
s = 3 cm
Volume = s3
= 33
= 27 cm3
3. Volume sebuah kubus adalah 125 cm3. Hitung panjang rusuk kubus tersebut !
Jawab : Volume = s3
125 = s3
53 = s3
s = 5 cm
8. Irisan Penampang Pada Bangun Ruang Kubus
Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan bidang alpha (α).
Definisi :
Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
1. Dengan Sumbu Afinitas
Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya. Untuk menyelesaikan contoh soal irisan / penampang dengan sumbu afinitas, kamu bisa mulai dengan langkah-langkah ini. Pertama, tentukan dua titik pada bidang perpotongan yang sebidang dengan bangun ruang. Kedua, hubungkan garis melalui titik-titik tersebut. Ketiga, panjangkan garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis yang tadi. Keempat, buatlah garis afinitas yang menghubungkan 2 titik pada bidang alas bangun ruang. Kamu bisa melengkapi untuk membuat bidang irisan / penampang yang diinginkan.
Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan
Catatan: Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.
Materi Irisan #1
Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.
Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.
Permasalahan (1)
Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus seefisien mungkin.
Langkah 1: Melukis kubus lengkap.
Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik P, Q, dan R.
Langkah 2: Menemukan sumbu afinitas.
Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah menghubungkan ketiga titik tersebut.
Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas. Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD. Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE.
Langkah 3: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain
(dalam proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba dengan sisi yang lain terlebih dahulu)
Perhatikan bahwa titik P telah terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha. (Why?)
Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik potong bidang alpha dan bidang ADHE. (ingat kembali teorema : melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)
Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas (Why? ), sebut titik potongnya adalah titik M1.
Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan:
Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.
Langkah 4: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.
Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.
Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.
Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi. Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.
Soal dan Pembahasan:
1. Pada kubus ABCDEFGH. Titik P, Q, R titik tengah AB, BF, GH.
Gambarkan irisan bidang P, Q, R pada ABCDEFGH !
Jawab: Sebelumnya kita akan gambar soalnya
Dengan menghubungkan titik S ke titik T diperoleh garis ST lalu titik T dan titik P diperoleh garis TP sehingga diperoleh Bidang Irisan yaitu Bidang PQQ'RST.
9. Luas Penampang Kubus
- Titik
- Garis
- Bidang
- Aksioma Garis dan Bidang
- Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus
- Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang
- Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang
- Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris
- Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)
- Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan
- Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar
a. Kedudukan titik terhadap garis.
- Titik Terletak pada Garis
- Titik di Luar Garis
oleh garis.
Contoh soal kedudukan titik :
1). Pada kubus ABCD.EFGH, Terhadap bidang DCGH, tentukanlah:
a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!
b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!
Penyelesaian :
a). Titik sudut yang berada di bidang DCGH adalah D, C, G, dan H.
b). Titik sudut yang berada di luar bidang DCGH adalah A, B, E, dan F
c. Kedudukan Garis terhadap Garis
Kedudukan garis terhadap garis adalah berimpit, berpotongan, sejajar, dan bersilangan. Sedangakan kedudukan garis terhadap bidang adalah berpotongan atau sejajar.
Contoh soal :
Perhatikan kubus ABCD.EFGH di bawah ini,
Pada gambar kubus di samping, garis AB :
*). berimpit dengan garis AB,
*). berpotongan dengan garis AD, BC, BF, AE
*). sejajar dengan garis DC, HG, EF
*). bersilangan dengan garis FC, CG, FG, EH, dan lainnya
*). terletak pada bidang ABCD, ABFE
*). memotong bidang BCGF, ADHE,
*). sejajar dengan bidang CDHG, EFGH
d. Kedudukan Bidang terhadap Bidang
Kedudukan bidang terhadap bidang yaitu berimpit, berpotongan, dan sejajar.
Contoh soal :
Perhatikan kubus ABCD.EFGH .
Pada gambar kubus di atas, bidang ABCD? :
*). berimpit dengan bidang ABC,
*). berpotongan dengan bidang BCGF, ABFE, ADHE, CDHG
*). sejajar dengan bidang EFGH
e. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
1. Garis Terletak dengan Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
2. Garis Sejajar dengan Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.
3. Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus..
Sebagai contoh: , perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :
2. Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
3. Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini,
*). AH dan GE bersilangan,
*). EC tegak lurus bidang BDG,
*). BE tegak lurus bidang ADGF,
*). AC bersilangan tegak lurus dengan DH,
*). AC bersilangan tidak tegak lurus dengan EB,
*). BG adalah titik potong antara bidang ABGH dan bidang BDG
*). EF tegak lurus dengan bidang BCGF, artinya semua garis yang ada pada bidang BCGF akan tegak lurus dengan garis EF, seperti garis EF tegak lurus dengan garis FG, garis EF tegak lurus dengan garis FB, garis EF tegak lurus dengan garis BC, garis EF tegak lurus dengan garis CG, garis EF tegak lurus dengan garis BG, garis EF tegak lurus dengan garis FC, dan EF tegak lurus dengan semua garis lain yang ada pada bidang BCGF.
Berikut beberapa pernyataan yang terkait dengan kedudukan titik, garis, dan bidang
i) . Jika bidang V tegak lurus dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V tegak lurus dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W tegak lurus dengan bidang V.
ii) . Jika bidang V sejajar dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V sejajar dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W sejajar dengan bidang V.
2. Melukis Proyeksi Miring Kubus
Kubus adalah salah satu bangun ruang dimensi tiga yang memiliki semua rusuk sama panjang. Pernahkan teman-teman diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus? Jika kita diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus, maka setiap orang pasti akan menghasilkan bentuk yang berbeda. Jadi, untuk melukis sebuah kubus kita dituntut untuk mengetahui cara atau tahap demi tahap dalam melukis kubus yang benar.
Berikut ini beberapa istilah yang harus kita ketahui dalam menggambar atau melukis kubus yaitu : Bidang gambar, bidang frontal, bidang orthogonal, garis frontal, garis orthogonal, sudut surut atau sudut miring atau sudut menyisi, dan perbandingan orthogonal. Untuk penjelasannya, kita simak berikut ini.
Berikut penjelasan masing-maasing istilah pada menggambar kubus :
1). Bidang Gambar
Bidang gambar adalah suatu bidang tempat untuk menggambar atau melukis suatu bangun ruang (kubus). Bidang gambar selalu ada di hadapan pengamat. Perhatikan kubus berikut ini, bidang gambar ditunjukkan oleh bidang ββ yaitu bidang yang dibatasi warna biru.
Bidang Frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Ukuran bidang frontal sesuai dengan ukuran pada kubusnya. perhatikan contoh berikut ini, bidang frontal ditunjukkan oleh bidang ABFE dan bidang CDHG.
Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang gambar. Bidang orthogonal digambarkan tidak sesuai dengan ukuran sebenarnya. pada gambar berikut, bidang orthogonalnya adalah ABCD, EFGH, BCGF, dan ADHE.
Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal (sejajar bidang frontal). Pada gambar berikut ini, garis frontalnya yaitu : garis frontal horizontal adalah AB, EF, CD, dan GH, garis frontal vertikal adalah AE, BF, CG, dan DH.
Garis orthogonal adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal (sejajar bidang orthogonal). Panjang garis frontal tidak sama dengan panjang sebenarnya. Panjang garis ortogonal ditentukan dengan menggunakan perbandingan ortogonalnya.
6). Sudut Surut
Sudut surut adalah sudut dalam gambar yang besarnya ditentukan oleh garis frontal horizontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Perhatikan gambar berikut, sudut surutnya adalah sudut BAD dan sudut FEH.
Perbandingan ortogonal adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal yang dilukiskan atau digambar dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya.
Perbandingan orthogonal dapat dirumuskan :
panjang garis yang dilukiskanpanjang garis yang sebenarnyapanjang garis yang dilukiskanpanjang garis yang sebenarnya.
Misalkan panjang AD sebenarnya adalah 6 cm dan perbandingan orthogonalnya adalah
, maka panjang AD yang dilukis dapat dihitung yaitu :
Perbandingan orthogonal =
=
=
AD dilukis =
x 6
AD dilukis = 4
Artinya pada gambar, panjang AD yang kita lukis adalah 4 cm.
Contoh soal :
Lukislah atau gambarlah proyeksi miring pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm, sudut surut 45∘ dan perbandingan ortogonalnya .
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar kubus ABCD.EFGH adalah :
1). Gambar bidang ABFE berupa persegi dengan panjang AB = 9 cm, AE = 9 cm
panjang AD yang dilukis =
X 9 =6 CM
3). Gambar garis AD yang membentuk sudut 45∘ (sudut surutnya) dengan garis horisontal AB.
3. Sudut Dalam Bangun Ruang Kubus
Sudut yang akan kita pelajari adalah sudut antara garis dan garis, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara bidang dan bidang.Kalian masih ingat, bahwa hanya dua garis berpotongan atau dua garis bersilangan saja yang mempunyai sudut ? Sekarang kita akan mempelajari materi sudut antara dua garis baik yang berpotongan maupun yang bersilangan.
a) Sudut Antara Garis Dengan Garis.
Kita ketahui bahwa kedudukan dua buah garis ada empat yakni: dua garis saling berimpit, saling sejajar, saling berpotongan, dan saling bersilangan.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan dua buah garis yang saling sejajar dan dua buah garis saling berimpit. Sudut yang dibentuk oleh dua buah garis yang sejajar dan garis yang berimpit adalah 0°
Sekarang perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Perhatikan garis AB (garis v) dan AE (garis u)! Kedua garis tersebut (garis udan garis v) berpotongan di titik A dan sudut yang dibentuk adalah ∠A atau biasanya ditulis ∠( u,v). Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan merupakan sudut yang berada di titik potong antara dua garis itu dan sinar garisnya sebagai kaki sudut.
Perhatikan gambar di bawah ini.
Perhatikan garis BD (garis y) dan garis FH (garis x)! Kedua garis tersebut saling bersilangan. Garis BD (garis y) sejajar dengan garis FH (garis z) dan garis x dan garis z saling berpotongan. Jadi, sudut antara dua garis bersilangan (misalkan x dan y bersilangan) merupakan sudut yang berada di titik potong antara garis x dengan garis z, di mana garis z sejajar dengan garis y, dan garis xbersilangan dengan garis z.
Perlu di ingat**
Sudut antara garis x dengan garis y dilambangkan dengan ∠(x,y)
Jika besar ∠(x,y) = 90° serta x dan y berpotongan, maka garis x dan y dikatakan berpotongan tegak lurus; dan x dan y bersilangan, maka garis x dan x dikatakan bersilangan tegak lurus.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sudut yang dibentuk oleh sudut antara garis dan garis silahkan lihat dan pahami contoh soal di bawah ini
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.
AP = ½ AB
AP = ½ 10 cm
AP = 5 cm
Cari panjang AF dengan rumus panjang diagonal sisi kubus yakni:
AF = s√2
AF = 10√2 cm
Cari panjang FP dengan teorema phytagoras yakni:
FP = √(BF2 + BP2)
FP = √(102 + 52)
FP = √125
FP = 5√5 cm
Cari besar ∠α dengan aturan cosines yakni:
AP2 = AF2 + FP2 – 2AF.FP.cos α
52 = (10√2)2 + (5√5)2 – 2. 10√2. 5√5.cos α
25 = 200 + 125 – 100√10.cos α
100√10.cos α = 200 + 125 – 25
100√10.cos α = 300
cos α = 300/(100√10)
cos α = 3/√10
cos α = 3√10/10
arc cos 3√10/10 = 18,43° (Gunakan kalkulator di sini )
Jadi, besar sudut antara garis AF dan garis FP adalah 18,43°
(b) Perhatikan gambar di bawah ini.
AC = s√2
AC = 10√2
AQ = ½ AC
AQ = ½ 10√2 cm
AQ = 5√2 cm
Cari panjang AG dengan rumus panjang diagonal ruang kubus yakni:
AG = s√3
AG = 10√3 cm
Cari panjang GQ dengan teorema phytagoras yakni:
GQ = √(CQ2 + CG2)
GQ = √((5√2)2 + 102)
GQ = √150
GQ = 5√6 cm
Cari besar ∠β dengan aturan cosines yakni:
AQ2 = AG2 + GQ2 – 2AG.GQ.cos β
(5√2)2 = (10√3)2 + (5√6)2 – 2. 10√3. 5√6. cos β
50 = 300 + 150 – 100√18. cos β
50 = 450 – 300√2. cos β
300√2. cos β = 450 – 50
300√2. cos β = 400
cos α = 400/(300√2)
cos β = 4/3√2
cos β = 4√2/6
cos β = 2√2/3
arc cos 2√2/3 = 19,47°
Jadi, besar sudut garis AG dengan GQ adalah 19,47°
b) Sudut Antara Garis Dan Bidang
Kita telah ketahui bahwa kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Bagaimana cara mencari besar sudut antara garis dan bidang?
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang dalam bangun ruang dimensi tiga silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
(a) Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ!
Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.
Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:
PQ = √(BP2 + BQ2)
PQ = √(22 + 22)
PQ = √(4 + 4)
PQ = 2√2 cm
Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:
BR = √(BP2 – PR2)
BR = √(22 – (√2)2)
BR = √(4 – 2)
BR = √2 cm
Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang DR
DR = BD – BR
DR = 4√2 cm –√2 cm
DR = 3√2 cm
tan α = DH/DR
tan α = 4 cm/(3√2 cm)
tan α = 4√2/6
tan α = 2√2/3
arc tan 2√2/3 = 43,31°
Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31°.
(b) Perhatikan gambar di bawah ini.
Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:
PQ = √(BP2 + BQ2)
PQ = √(22 + 22)
PQ = √(4 + 4)
PQ = 2√2 cm
Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:
BR = √(BP2 – PR2)
BR = √(22 – (√2)2)
BR = √(4 – 2)
BR = √2 cm
Cari panjang FR, yakni:
FR = √(BR2 + BF2)
FR = √((√2)2 + 42)
FR = √18
FR = 3√2 cm
Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang DR
DR = BD – BR
DR = 4√2 cm –√2 cm
DR = 3√2 cm
Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni:
HR = √(DH2 + DR2)
HR = √(42 + (3√2)2)
HR = √34 cm
Cari besar ∠β dengan aturan cosinus yakni:
FH2 = HR2 + FR2 – 2.HR.FR.cos β
42 = (√34)2 + (3√2)2 – 2.√34.3√2. cos β
16 = 34 + 18 – 6√68. cos β
16 = 52 – 12√17. cos β
12√17. cos β = 52 – 16
12√17. cos β = 36
cos β = 36/(12√17)
cos β = 3/√17
cos β = 3√17/17
arc cos 3√17/17 = 36,04°
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ adalah36,04°
c) Sudut Antara Bidang Dan Bidang
Kita telah ketahui bahwa kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu dua bidang yang saling berimpit, sejajar, dan berpotongan. Bagaimana mencari besar sudut yang dibentuk dua buah bidang?
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar di atas merupakan kedudukan bidang terhadap bidang lainnya . Gambar pertama merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling berimpit dan gambar kedua merupakan kedudukan dua buah bidang yang saling sejajar. Kita ketahui bahwa pengertian bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis (silahkan baca: pengertian titik, garis dan bidang ).
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.
=> Membuat garis IJ yang tegak lurus dengan garis g dan berimpit dengan bidang ABCD serta berpotongan di titik M
=> Membuat garis LK yang tegak lurus juga dengan g dan berimpit dengan garis EFGH serta bepotongan di titik M
=> Sudut lancip yang dibentuk oleh garis IJ dan LK (sudut α) merupakan sudut yang dibentuk oleh dua bidangn tersebut.
Jadi, sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut.
Contoh Soal
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH
Penyelesaian:
Perhatikan gambar di bawah ini.
Cari panjang BD dengan rumus panjang diagonal bidang kubus yakni:
BD = s√2
BD = 4√2 cm
Cari panjang FS dengan teorema phytagoras, di mana panjang BS merupakan setengah panjang diagonal bidang BD.
BS = ½ BD = ½ . 4√2 cm = 2√2 cm
FS = √(BS2 + BF2)
FS = √((2√2)2 + 42)
FS = √24
FS = 2√6 cm
sin α = FT/FS (FT = BS)
sin α = (2√2)/(2√6)
sin α = √2/√6
sin α = 1/√3
sin α = (1/3)√3
arc sin (1/3)√3 = 35,26°
Jadi, nilai sin α dan besar sudut α adalah (1/3)√3 dan 35,26°
4. Jarak Pada Bangun Ruang Kubus
Jarak selalu dikaitkan dengan hubungan letak dari dua benda
Jarak antara dua buah bangun adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik dari kedua bangun itu.
Dapat menerima apabila dibedakan antara jarak sebagai ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik pada kedua bangun, dengan jarak sebagai bilangan yang menyatakan panjang dari ruas garis terpendek itu.
Dalam pemecahan soal tentang jarak antara dua bangun. Terlebih dahulu harus menetapkan atau melukis jaraknya, baru setelah itu diusahakan menetapkan panjang dari ruas garis itu.
Jarak antara dua buah titik adalahruas garis yang menghubungkan kedua
titik itu
-Menunjukkan bahwa jarak antara titik A dan B dalah ruas garis AB
Jarak antara sebuah titik dan sebuah garis
adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dan titik kaki garis
tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut.
Menunjukkan jarak antara titik P dan garis g. Jika
adalah titik kaki garis tegak lurus dari P ke g, atau
juga disebut proyeksi P pada garis g, maka jarak antara titik P dan
garis g, yaitu d, ditinjukkan oleh ruas garis
|
adalah proyeksi titik P pada ὰ. Q
adalah sebarang titik pada ὰ. Untuk
setiap titik Q lainnya selalu
menghasilkan segitiga
yang siku0siku dititik
Jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang
adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada
bidang tersebut.
Dengan demikian selalu berlaku garis
< garis PQ yang berarti garis
merupakan ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P dengan
titik-titik pada bidang ὰ. Dengan perkataan lain garis
adalah jarak antara titik P dan bidang ὰ.
Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik itu pada garis yang lain.
Ditunjukkan jarak antara garis a dan b yang sejajar. P adalah sembarang titik pada garis a dan
adalah proyeksi tiitk P pada garis b. Jarak antara garis a dan b
dinyatakan oleh
. Jika dipilih titik sembarang lainnya , misalnya Q, dan proyeksinya
pada garis b adalah
, maka jarak antara garis a dan b juga dapat dinyatakan oleh garis
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa jika garis
= d, maka garis
=garis
=d, karena a//b sehingga
merupakan sebuah persegi panjang.
Jarak antara dua bidang sejajar dua buah bidang yang sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah sebuah titik pada salah satu bidang itu dengan proyeksinya pada bidang yang kedua.
Jarak antara dua bidang sejajar sama dengan jarak antara sembarang salah satu titik pada bidang yang satu ke bidang yang kedua.
|
||||
|
||||
Jika titik Q sembarang titik yang lain pada ὰ dan
proyeksinya pada ᵦ, maka
=
, berarti dipilih sembarang titik pada salah satu bidang itu untuk
meninjau atau mencari jarak antara dua bidang sejajar.
Karena
bidang ᵦ, sedang ὰ//ᵦ, maka
, juga tegak lurus pada bidang ὰ. Jadi jarak antara dua bidang sejajar
merupakan ruas garis penghubung yang tegak lurus pada kedua bidang
tersebut.
Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus kedua garis.
5. Sumbu Simetri Pada Bangun Ruang Kubus
Simetri pada kubus ada 2 yaitu simetri cermin dan simetri putar
Pengertian simetri :
Sebuah bangun dikatakan simetri cermin, jika bangun itu dapat dibagi dua oleh bidang tertentu, yang jika bidang tersebut dipandang sebagai sebuah cermin, maka bagian yang satu dari bangun itu merupakan bayangan cermin dari bayangan lain.
Dalam hubungan ini bidang pembagi tadi, yang seolah-olah berperan sebagai sebuah cermin selanjutnya disebut bidang simetri. Kedua bagian benda itu kemudian dikatakan simetri terhadap bidang simetrinya
Sebuah bidang dikatakan simetri putar, jika pada sebuah bangun dapat ditetapkan sebuah garis tertentu, sehingga dengan memutar bangun itu sekeliling garis tersebut sejauh satu putaran penuh, bangun itu dapat menempati kembali tempatnya sebanyak n kali, maka dikatakan bahwa bangun itu memiliki simetri putar tingkat n.
Maka garis itu selanjutnya disebut sumber simetri putar, atau sering
kali cukup banyak disebut sumbu simetri.
|
AB tegak lurus bidang PQRS dan AP=PB, hal ini berarti titik B dapat dipandang sebagai bayangan cermin dari titik A terhadap bidang PQRS. Demikian juga dapat ditunjukkan bahwa:
- Titik C adalah bayangan cermin titik D terhadap bidang PQRS
- Titik G adalah bayangan cermin titik H terhadap bidang PQRS
- Titik F adalah bayangan cermin titik E terhadap bidang PQRS
Dan pada umunya setiap titik pada bagian dari kubus ABCD.EFGH ysng terletak di sebelah kanan dari bidang PQRS, yaitu bangun PBCQSFGR, merupakan bayangan cermin dari sebuah titik yang terletak pada bayangan APQDESRH, terhadap bidang PQRS.
Kesimpulan :
Bangun PBCQSFGR merupakan bayangan cermin dari bayangan APQDESRH terhadap bidang PQRS.
Karena pengertian simetri, bidang PQRS disebut bidang simetris dari kubus ABCD EFGH.
Ciri-ciri bidang simetri
- Bidang simetri adalah bidang yang melalui titik pertengahan keempat rusuk sejajar dari kubus itu yaitu rusuk-rusuk AB,DC,EF, dan HG.
Karena kubus ABCDEFGH juga mempunyai pasangan-pasangan rusuk sejajar yang lain
Gambar 3.14 menunjukkan kubus yang sama. Bidang BDHF adalah salah satu bidang dari kubus ABCDEFGH. Bidang diagonal BDHF tersebut membagi kubus menjadi dua bagian yaitu bangun ABDEFH dan bangun BCDFGH, kedua bangun itu letaknya sedemikian rupa sehingga apabila bidang BDHF dipandang sebagai cermin, maka bangun BCDFGH merupakan bayangan dari bangun ABDEFH terhadap cermin itu.
Kesimpulan :
Menurut pengertian simetri, bidang diagonal BDHF adalah bidang simetri dari kubus ABCD.EFGH
Seperti tiga bidang simetri diatas, akan menemukan bidang diagonal lainnya dari kubus, sebagai bidang-bidang simetri dari kubus.
Kubus mempunyai 12 buah rusuk yang sepasang-sepasang berhadapan. Setiap rusuk berhadapan menentukan sebuah bidang diagonal. Jadi ada 6 bidang diagonal, berarti terdapat 6 bidang simetri lagi pada kubus, selain 3 bidang simetri yang bukan bidang diagonal.
· Simetri putar pada kubus
Kubus ABCDEFGH, garis g adalah garis yang menghubungkan titik-titik
pusat bidang alas ABCD dan bidang atas EFGH
Jika kubus diputar mengelilingi garis sejauh satu putaran penuh, maka kubus itu akan menempati tempatnya dalamruang sebanyak 4 kali. Putaran itu jika diliat dari arah vertikal di atas bidang EFGH akan tampak seperti gambar 3.16
Dan digambarkan sebagai peristiwa memutar bujur sangkar ABCD sekeliling titik pusat P atau memutar Bujur sangkar EFGH sekeliling titik pusatnya Q sejauh satu putaran penuh. Dari geometri bidang tersebut telah diketahui bahwa perputaran bujur sangkar ABCD atau bujursangkar EFGH akan menempati tempatnya sebanyak empat kali.
Dari putaran tersebut Kubus ABCDEFGH memiliki simetri putar tingkat empat, dengan garis g sebagai sumbu simetrinya. Terdapat garis garis lain yang memiliki sifat garis g diatas, yaitu yang letaknya demikian rupa sehingga jika kubus diputar mengelilingi garis itu sejauh satu putaran penuh akan menempati tempatnya empat kali. Garis-garis lain yang memiliki sifat seperti garis g adalah garis-garis yang menghubungkan titik-titik asal dua sisi yang berhadapan.
Kesimpulan
: bahwa kubus mempunyai simetri tingkat empat dengan tiga buah sumbu
simetri yang masing-masing merupakan garis hubung titik-titik pusat
dari dua sisi yang berhadapan.
Membuat sebuah garis p yang menghubungkan pertengahan-pertengahan dua rusuk yang berhadapan pada kubus ABCDEFGH, misalnya garis p itu menghubungkan pertengahan rusuk-rusuk berhadapan AE dan CG. Pada gambar 3.17.
Dengan memutar kubus ABCDEFGH sekeliling garis p sejauh satu putaran, maka kubus ABCDEFGH akan menempati tempatnya dua kali.
Dengan demikian, maka menurut definisi berarti bahwa kubus ABCDEFGH itu memiliki simetri putar tingkat dua dengan garis p sebagai sumbu simetrinya.
Garis p merupakan garis yang menghubungkan pertengahan dua rusuk sejajar. Dalam sebuah kubus terdapat dua belas rusuk yang letaknya dua-dua atau sepasang-sepasang sejajar. Dengan demikian dalam sebuah kubus terdapat enam pasang rusuk sejajar, jadi menentukan enam buah garis.
Karena tidak mungkin menemukan lagi garis-garis lain yang dapat dijadikan sumbu simetri putar pada kubus. Maka Kubus memiliki :
- Simetri putar tingkat dua, dengan 6 buah sumbu simetri, yang masing-masing berupa garis yang melalui pertengahan dua rusuk yang berhadapan
- Simetri putar tingkat tiga, dengan 4 buah sumbu simetri, yang masing-masing berupa garis yang memuat digonal ruan
- Simetri putar tingkat empat, dengan 3 buah sumbu simetri yang masing-masing berupa garis yang melalui titik-titik pusat dari dua sisi yang berhadapan
6. Jaring-Jaring Pada Bangun Ruang Kubus
a. Jaring-jaring Kubus
Jaring-jaring kubus adalah bangun datar dari bukaan bangun ruang menurut rusuknya dan apabila dipotong menurut rusuk-rusuknya kemudian tiap sisinya direntangkan akan menghasilkan jaring-jaring kubus juga. Jaring-jaring kubus terdiri dari enam buah persegi kongruen yang saling berhubungan.
b. Membuat Jaring-jaring Kubus
Apabila pada bagian tadi kita membuat jaring-jaring kubus dengan cara
memotong kubus yang sudah jadi menurut rusuk-rusuknya, sekarang kita
akan membuat jaring-jaring kubus. Enam buah persegi yang kongruen kalau
disusun belum tentu merupakan jaring-jaring kubus. Susunan persegi
tersebut merupakan jaring-jaring kubus apabila dilipat kembali keenam
sisi kubus tepat tertutup oleh 6 buah persegi yang kongruen tersebut.
ADA 11 MODEL JARING-JARING KUBUS :
Contoh soal :
a. Perhatikan jarring-jaring kubus di bawah ini. Jika nomer 3 sebagai alas kubus, nomor berapakah yang merupakan tutup kubus?
untuk mempermudah menjawab soal tersebut, buatlah jarring-jaring tersebut pada kertas lalu gunting. Susun menjadi sebuah kubus, sehingga akan diperoleh tutup kubus adalah nomor 5.
b. Diketahui kubus KLMNOPQR. Lengkapilah titik-titik pada jaring-jaring di bawah ini.
|
7. Luas Permukaan Kubus Dan Volume Kubus
- Luas permukaan kubus
Karena permukaan kubus terdiri dari enam buah persegi dengan ukuran yang sama, maka luas kubus dengan panjang rusuk p adalah:
Luas = 6 x luas persegi
= 6p²
Contoh soal :
1. Hitung Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 7 cm !
Jawab :Luas permukaan kubus = 6 x s2
= 6 x 72
= 6 x 49
= 294 cm2
2. Hitung Luas permukaan kubus jika luas salah satu sisinya 10 cm 2 !
Jawab :Luas salah satu sisi = 10
s2 = 10
Luas permukaan kubus = 6 x s2
= 6 x 102
= 6 x 100
= 600 cm2
3. Luas permukaan kubus adalah 600 cm2. Hitung panjang rusuk kubus tersebut !
Jawab :Luas permukaan kubus = 6 x s2 600 = 6 x s2
s2 = 600/6
s2 = 100
s = 10 cm
- Volume kubus
Volume = Luas alas x tinggi
Dimana luas alas kubus adalah persegi dan panjang sisi alasnya sama
dengan tinggi kubus
Sehingga:
volume kubus = panjang rusuk × panjang rusuk × panjang rusuk
= s × s × s
= s3
Jadi, volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut.
V = s3
Contoh Soal:
1. Hitung Volume kubus yang mempunyai rusuk 9 cm !
Jawab : Volume = s3
= 93
= 729 cm3.
2. Hitung Volume kubus jika luas salah satu sisinya 9 cm2 !
Jawab : Luas salah satu sisi = 9
s2 = 9
s = 3 cm
Volume = s3
= 33
= 27 cm3
3. Volume sebuah kubus adalah 125 cm3. Hitung panjang rusuk kubus tersebut !
Jawab : Volume = s3
125 = s3
53 = s3
s = 5 cm
8. Irisan Penampang Pada Bangun Ruang Kubus
Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan bidang alpha (α).
Definisi :
Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
1. Dengan Sumbu Afinitas
Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya. Untuk menyelesaikan contoh soal irisan / penampang dengan sumbu afinitas, kamu bisa mulai dengan langkah-langkah ini. Pertama, tentukan dua titik pada bidang perpotongan yang sebidang dengan bangun ruang. Kedua, hubungkan garis melalui titik-titik tersebut. Ketiga, panjangkan garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis yang tadi. Keempat, buatlah garis afinitas yang menghubungkan 2 titik pada bidang alas bangun ruang. Kamu bisa melengkapi untuk membuat bidang irisan / penampang yang diinginkan.
2. Dengan Bidang Diagonal
Untuk menggambar dengan bidang diagonal, ada beberapa langkah yang bisa kamu ikuti. Pertama, buat beberapa titik bidang ruang sesuai dengan soal yang kamu dapatkan. Kedua, buat bidang diagonal yang sesuai dengan titik-titik tadi. Dari titik ini, kamu akan mendapatkan bidang diagonal yang mengiris bangun ruang tersebut.Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan
Catatan: Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.
Materi Irisan #1
Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.
Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.
Permasalahan (1)
Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus seefisien mungkin.
Langkah 1: Melukis kubus lengkap.
Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik P, Q, dan R.
Langkah 2: Menemukan sumbu afinitas.
Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah menghubungkan ketiga titik tersebut.
Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas. Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD. Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE.
Langkah 3: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain
(dalam proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba dengan sisi yang lain terlebih dahulu)
Perhatikan bahwa titik P telah terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha. (Why?)
Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik potong bidang alpha dan bidang ADHE. (ingat kembali teorema : melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)
Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas (Why? ), sebut titik potongnya adalah titik M1.
Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan:
Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.
Langkah 4: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.
Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.
Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.
Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi. Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.
Soal dan Pembahasan:
1. Pada kubus ABCDEFGH. Titik P, Q, R titik tengah AB, BF, GH.
Gambarkan irisan bidang P, Q, R pada ABCDEFGH !
Jawab: Sebelumnya kita akan gambar soalnya
-
Perpanjang garis PQ dan garis EF diperoleh titik afinitas K, dimana
titik K berada sejajar semua titik pada bidang EFGH
- Tarik garis dari titik K ke titik R dan akan memotong garis FG di titik Q' sehingga diperoleh garis QQ' dan garis Q'R
- Perpanjang garis QQ' dan garis CG diperoleh titik afinitas L, lalu tarik garis dari titik L ke titik R diperoleh garis RS
- Perpanjang garis RS dan garis CD diperoleh titik afinitas M, lalu tarik garis dari titik M ke titik P akan memotong garis AD di titik T
Dengan menghubungkan titik S ke titik T diperoleh garis ST lalu titik T dan titik P diperoleh garis TP sehingga diperoleh Bidang Irisan yaitu Bidang PQQ'RST.
9. Luas Penampang Kubus
No comments:
Post a Comment