PELUANG (Materi Kuliah-an)

A.      Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai suatu kejadian yang timbul di luar dugaan atau harapan. Misalnya, pada pagi hari terlihat mendung, sehingga kita memutuskan untuk membawa payung ketika ingin pergi ke sekolah, namun di dalam perjalanan tidak hujan, akhirnya payung tersebut tidak berguna dan hanya menambah bobot tas kita saja, namun adakalanya payung yang dibawa bermanfaat bagi kita karena dugaan kita benar. Demikian pula ketika kita melantunkan dadu dalam permainan ular tangga, adakalanya angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 yang akan muncul dalam satu kali pelantunan. Jika pelantunan  itu dilakukan berulang-ulang misal seratus kali, kita tidak pernah tahu angka berapa yang akan muncul setiap pelantunannya.

Dari persoalan-persoalan sederhana semacam di atas timbullah suatu pengertian yang merupakan ukuran bagi kemungkinan dari suatu kejadian, yang dinamakan peluang. Ukuran peluang berkisar antara 0 sampai 1, peluang bernilai 0 apabila suatu kejadian tidak mungkin terjadi, dan bernilai 1 apabila suatu kejadian pasti akan terjadi.

A.      Ruang Sampel

Andi sedang bermain monopoli dengan adiknya, mereka membuat peraturan, bahwa boleh meemulai permainan jika dapat melantunkan dadu bermata 6. Ketika melakukan pelantunan dadu bisa saja Andi tidak langsung mendapatkan dadu bermata 6, namun bisa saja dadu bermata 1 satu atau mata lainnya. Karena dadu memiliki bentuk segi enam dan setiap sisinya memiliki mata berbeda, maka dari setiap pelantunan hasil yang mungkin  keluar adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Andi akan  terus melantunkan dadu sampai kejadian  munculnya dadu bermata 6 tepat pertama kali, agar ia bisa mulai permainan. Himpunan angka {1, 2, 3, 4, 5, 6} kita beri nama sampel dari percobaan pelantunan dadu, dan munculnya dadu bermata 6 adalah suatu kejadian yang bisa saja terjadi dari percobaan pelantunan sebuah dadu seimbang. Berdasarkan ilustrasi di atas kita dapat menarik suatu definisi tentang ruang sampel dan kejadian.

 Semua kemungkinan yang dapat terjadi dari suatu percobaan adalah ruang sampel. Ruang sampel dinotasikan dengan huruf “S”.  sedangkan kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Berikut ini adalah beberapa contoh ruang sampel dari suatu percobaan.

Contoh 1.1

1. Percobaan yang dilakukan adalah melantunkan sebuah koin seimbang.

S={A,G}

                     A adalah notasi yang diberikan jika angka yang muncul.
                    G adalah notasi yang diberikan jika gambar  yang muncul.
2. Percobaan yang dilakukan adalah melantunkan dua buah koin seimbang.
                                                       S={AA,AG,GA,GG}
3. Percobaan yang dilakukan adalah melantunkan tiga  buah koin seimbang.
                                S={AAA,AAG,AGA,GAA,GGA,GAG,AGG,GGG}
4. Percobaan yang dilakukan adalah melantunkan dua buah dadu seimbang.
            S={((1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)@(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)@(3,1),(3,2),(3,3),  (3,4),(3,5),(3,6)@(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)@(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)@(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6))}
5. Percobaan menghitung banyaknya kecelakaan di jalan tol jagorawi.
                                                                 S=0,1,2,3,…
6. Percobaan menghitung waktu hidup lampu di pabrik X.
                                         S=[0,∞), (dalam jam)
Telah kita ketahui bahwa kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, contoh kejadian dari ruang sampel dari 6 contoh di atas adalah sebagai berikut:
Contoh 1.2
1. K_1={A}, K merupakan kejadian dari pelantunan sebuah koin seimbang.
2. K_2={AG,GG} adalah kejadian dari pelantunan dua buah koin seimbang.
3. K_3=(AAA,AGA,GAA} adalah kejadian dari pelantunan tiga buah koin seimbang.
4. K_4={(4,5),(5,6),(6,3)} adalah kejadian dari pelantunan dua buah dadu seimbang.
5. K_5={0,3} adalah kejadian dari percobaan menghitung banyaknya kecelakaan di tol jagorawi.
6. K_6={6 jam} adalah kejadiaan dari percobaan menghitung lamanya waktu hidup dari sebuah lampu.

Untuk dua buah kejadian sembarang, kita dapat mengoperasikan kejadian-kejadian tersebut, adapun operasi kejadian tersebut adalah: irisan, gabungan. Selain operasi irisan dan gabungan ada operasi sebuah kejadian yaitu komplemen. Berikut adalah definisi dari operasi irisan, gabungan dan komplemen.
Definisi 1.1
A dan B adalah dua buah kejadian sembarang yang memiliki ruang sampel S, maka berlaku:
A∪B={x|x∈A atau x∈B}
A∩B={x|x∈A dan x∈B}
A^c={x|x∈S,x∉A}
Contoh 1.3. Lina dan Tina sedang bermain ular tangga. Lina berharap mendapatkan angka genap agar  ia dapat naik tangga. Sedangkan Tina berharap mendapatkan angka lebih dari 3 agar terhindar dari ular. Tentukan kejadian gabungan dan irisan dari harapan mereka berdua beserta komplemen dari setiap harapan mereka berdua.
A={2,4,6}→Kejadian yang diharapkan Lina .
B={4,5,6}→Kejadian yang diharapkan Tina.
A∪B={2,4,5,6}
A∩B={4,6}
A^C={1,3,5}
B^C={1,2,3}

C. Peluang dari Suatu Kejadian
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar ungkapan-ungkapan yang berhubungan dengan peluang. Contohnya adalah:
Peluang kemenangan grup real madrid melawan juventus adalah 1/2
Peluang hari ini akan hujan adalah 1/3
Peluang terjadinya kecelakaan di jalan tol jagorawi adalah 1/9
Namun apa artinya peluang. Peluang adalah suatu ukuran dari kejadian. Untuk memperoleh peluang dari suatu kejadian maka kita menghitung proporsi dari suatu kejadian terhadap banyaknya kejadian yang mungkin akan terjadi. Atau secara matematis dapat dinotasikan sebagai berikut:
P(A)=n(A)/n(S)
A adalah suatu kejadian sembarang yang berada di ruang sampel S
n(A) adalah banyaknya kejadian A.
n(S) adalah banyaknya kejadian S.
Untuk memahami bagaimana menghitung peluang, perhatikan contoh di bawah ini:
Contoh 1.4
Ali akan melantunkan sebuah dadu seimbang. Tentukan peluang munculnya angka?
B adalah kejadian munculnya angka
P(B)=1/2
Andri akan melantunkan tiga buah koin seimbang. Tentukan peluang paling sedikit 2 angka yang muncul?
A adalah kejadian munculnya paling sedikit 2 angka yang muncul
P(A)=1/2
Dua buah dadu dilantunkan, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 9?
C adalah kejadian munculnya mata dadu berjumlah 9
P(C)=1/9
Suatu huruf  akan diambil secara acak dari alfabet. Tentukan peluang terambilnya huruf vokal?
D adalah kejadian terambilnya huruf vokal
P(D)=5/26
Untuk setiap kejadian A yang berada di dalam ruang sampel S, maka P(A) selalu memenuhi definisi berikut ini:
Definisi 1.2
0≤P(A)≤1
P(S)=1
Untuk sembarang kejadian A_1,A_2,A_3,…,A_n yang saling lepas maka berlaku:
P(⋃_(i=1)^n▒A_i )=P(A_1 )+P(A_2 )+⋯+P(A_n )
Berdasarkan definisi di atas, kita dapat menghitung P(A^C ), karena kejadian A dan A^C saling lepas, maka berdasarkan definisi 1.2 poin 2 dan 3, kita peroleh
P(S)=P(A∪A^C )
1=P(A)+P(A^C)
P(A^C )=1-P(A)
Pada definisi 1.2  poin 3 rumus tersebut berlaku jika kejadian saling lepas. Bagaimana jika kejadiannya tidak saling lepas? Misal kita mempunyai 2 buah kejadian yang tidak saling lepas, bagaimana menghitung P(A∪B), cara menghitungnya menggunakan rumus:
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Contoh 1.5. Sebuah dadu seimbang dilantunkan sebanyak 1 kali. jika A adalah kejadian munculnya angka genap dan B adalah kejadian munculnya angka prima. Maka tentukan P(A∪B)?
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=1/2+1/2-1/6
=5/6
Contoh 1.6. Sebuah dadu dibuat sedemikian hingga. Angka 5 akan 3 kali sering muncul dibandingkan angka 1, 2, 3, 4, sedangkan angka 6 akan 2 kali lebih sering muncul dari angka 5. Tentukan peluang munculnya angka 2?
Penyelesaian:
P(X=1)=1/3 P(X=5)
P(X=2)=1/3 P(X=5)
P(X=3)=1/3 P(X=5)
P(X=4)=1/3 P(X=5)
P(X=6)=2.P(X=5)
Jika P(X=5)=p, maka:
P(X=1)=1/3 p
P(X=2)=1/3 p
P(X=3)=1/3 p
P(X=4)=1/3 p
P(X=6)=2p
Menurut sifat kedua mengatakan bahwa P(S)=1
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=1
1/3 p+1/3 p+1/3 p+1/3 p+p+2p=1
13/3 p=1
p=3/13
P(X=2)=1/3 P(X=5)=1/3.3/13=1/13
Jadi peluang munculnya angka 2 sebesar 1/13

D. Peluang Bersyarat
Sebuah dadu seimbang dilantunkan sebanyak 1 kali. jika yang muncul dadu bermata lebih dari 3, tentukan peluang munculnya dadu bermata prima? Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat kita jawab dengan peluang bersyarat. Dalam kasus di atas bila kita misalkan A adalah kejadian munculnya dadu bermata lebih dari 3. Dan B adalah kejadian munculnya mata dadu prima. Karena A terlebih dahulu kita ketahui atau A adalah syarat dari kejadian B, maka dapat dinotasikan P(B|A). Yang dapat dibaca Peluang bersyarat B jika diketahui A atau peluang kejadian B bersyarat A. cara menghitung P(B|A) adalah sebagai berikut:
P(B|A)=P(A∩B)/P(A) ,P(A)>0
Berdasarkan rumus di atas maka peluang munculnya dadu bermata prima dengan syarat dadu yang muncul bermata lebih dari 3 adalah:
P(B│A)=(1/6)/(1/2)=1/6×2/1=1/3
Contoh 1.6. Sebuah dadu seimbang akan dilantunkan sebanyak satu kali. Jika diketahui angka yang muncul adalah genap, tentukan peluang munculnya angka tersebut adalah prima?
Penyelesaian:
A adalah kejadian munculnya angka prima, A=(2,3,5)
B adalah kejadian munculnya angka genap, B={2,4,6}
P(A│B)=(P(A∩B))/(P(B))=(1/6)/(1/2)=1/3

Contoh 1.7.  Di dalam sebuah keranjang terdapat 3 buah bola merah dan 4 bola putih. Dari keranjang tersebut akan diambil 2 buah bola secara berurutan tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya bola putih pada pengambilan pertama dan bola merah pada pengambilan kedua?
Penyelesaian
A adalah kejadian terambilnya bola berwarna putih
B adalah kejadian terambilnya bola berwarna merah
P(A∩B)=P(A).P(A|B)
=4/7.3/6
=2/7

Contoh 1.8. Dilakukan sebuah survey pada pasien rumah sakit “Y” yang berjumlah 100 orang. survey ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh kebiasaan merokok terhadap penyakit jantung. Berikut ini adalah hasil pencatatannya.

Tabel 1.1.
Hasil perhitungan survey pengaruh kebiasaan merokok terhadap penyakit jantung
Merokok Tidak merokok Jumlah
Pengidap penyakit jantung 50 5 55
Bukan pengidap penyakit jantung 10 35 45
Jumlah 60 40 100

Bila seseorang dipilih secara acak dari kelompok ini, tentukan peluang bahwa orang tersebut:
Pengidap penyakit jantung, jika diketahui orang tersebut merokok.
A adalah kejadian terpilihnya seseorang pengidap penyakit jantung.
B adalah kejadian terpilihnya seseorang yang merokok
P(A│B)=50/60
Perokok, jika diketahui bahwa orang tersebut mengidap penyakit jantung.
A adalah kejadian terpilihnya seseorang pengidap penyakit jantung.
B adalah kejadian terpilihnya seseorang yang merokok
P(B|A)=50/55

Peluang Dua Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika:
P(A∩B)=P(A)P(B)
Akibat dari definisi di atas adalah:
Dua buah kejadian A dan B^C merupakan kejadian yang saling bebas
Dua buah kejadian A^C dan B merupakan kejadian yang saling bebas
Dua buah kejadian A^C dan B^C merupakan kejadian yang saling bebas
Bukti:
P(A∩B^C )=P(A)-P(A∩B)
=P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))
=P(A).P(B^C) (Terbukti)
P(A^C∩B)=P(B)-P(A∩B)
=P(B)-P(A)P(B)
=P(B)(1-P(A))
=P(B)P(A^C )
=P(A^C )P(B) (Terbukti)
P(A^C∩B^C )=P(A^C )-P(A^C∩B)
=P(A^C )-P(A^C )P(B)
=P(A^C )(1-P(B))
=P(A^C )P(B^C ) (Terbukti)

Contoh 1.9. Sebuah keranjang berisikan 3 buah bola. Bola-bola tersebut diberi nomor urut  yaitu, 1, 2, dan 3. Jika A adalah kejadian terambilnya bola bernomor 1 dan 2. Jika B adalah kejadian terambilnya bola bernomor 1 dan 3. Dan jika C adalah kejadian terambilnya bola bernomor 2 dan 3. Tentukan apakah kejadian A, B dan C merupakan kejadian saling bebas?
P(A∩B∩C)=0
P(A)P(B)P(C)=1/2×1/2×1/2=1/8
Karena P(A∩B∩C)≠P(A)P(B)P(C) maka kejadian A dan kejadian B tidak saling bebas.
Contoh 1.10. Ida melantunkan koin sebanyak dua kali. A adalah kejadian munculnya angka pada pelantunan pertama dan B adalah kejadian munculnya gambar pada pelantunan kedua. Tentukan apakah kejadian A dan B saling bebas.
P(A)=1/2
P(B)=1/2
P(A∩B)=1/4
P(A).P(B)=1/4
Karena P(A∩B)=P(A)P(B) maka kejadian A dan kejadian B saling bebas.

E. Dalil Bayes
Sebelum mendiskusikan tentang aturan bayes, pertama-tama akan dibahas terlebih dahulu tentang ruang partisi dan total peluang. Berikut ini adalah uraiannya.
Definisi 1.3.
Kejadian-kejadian B_1,B_2,B_3,…,B_n  dikatakan ruang partisi dari ruang sampel S, jika memenuhi:
B_i∩B_j=∅,i=1,2,3,..,n,j=1,2,3,…,n,i≠j
B_1∪B_2∪B_3∪…∪B_n=S
P(B_i )>0,∀i=1,2,3,…,n
Untuk memahami ruang partisi dari ruang sampel, perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 1.11. Sebuah dadu seimbang akan dilantunkan sebanyak 1 kali. A merupakan kejadian munculnya angka {1,2}, B merupakan kejadian munculnya angka {3,5,6}, C merupakan kejadian munculnya angka {4}. Apakah kejadian A, kejadian B dan kejadian C merupakan partisi dari ruang sampel.
Untuk mengetahui apakah kasus di atas merupakan ruang partisi atau tidak, akan dilakukan pemeriksaan sebagai berikut:
Poin 1 pada definisi 1.3 terpenuhi
Poin 2 pada definisi 1.3 terpenuhi
Poin 3 pada definisi 1.3 terpenuhi
Karena semuanya terpenuhi maka kejadian A, B, dan C merupakan ruang partisi dari S.
Contoh 1.12. Angga memiliki 3 buah kotak yang berisikan  compact disk (cd). Kotak pertama berisikan 1 cd verbatim dan 2 cd sonny, kotak kedua berisikan 3 cd verbatim dan 4 cd sonny, sedangkan kotak ketiga berisikan 5 cd verbatim dan 1 cd sonny. Sebuah kotak akan diambil secara acak, dimana peluang terambilnya kotak tersebut sama besar. kemudian sebuah cd akan diambil dari kotak tersebut. Tentukan peluang bahwa cd  yang terambil merupakan cd verbatim?
B_1 adalah kejadian terpilihnya kotak 1
P(B_1 )=1/3
B_2 adalah kejadian terpilihnya kotak 2
P(B_2 )=1/3
B_3 adalah kejadian terpilihnya kotak 3
P(B_3 )=1/3
A adalah kejadian terpilihnya cd verbatim
P(A|B_1 )=1/3
P(A|B_2 )=3/7
P(A|B_3 )=5/6
P(A)=∑_(i=1)^3▒P(B_i )P(A|B_i )
=P(B_1  )P(A|B_1 )+P(B_2  )P(A|B_2 )+P(B_3  )P(A|B_3 )
=(1/3×1/3)+(1/3×3/7)+(1/3×5/6)
=1/9+3/21+5/18
=(14+18+35)/126=67/126

Contoh 1.13 hanya mencari peluang terambilnya cd verbatim, tanpa mengetahui cd verbatimnya berasal dari kotak berapa. Apabila ingin mengetahui asal cd tersebut dari kotak mana. Kita dapat menggunakan aturan bayes.
Jika kejadian-kejadian B_1,B_2,B_3,…,B_n merupakan ruang partisi dari S, maka peluang dari kejadian yang sembarang dari S dan P(A)>0 dapat ditentukan menggunakan rumus:
P(B_i |A)=(P(B_i )P(A│B_i ))/P(A) ,i∈(1,2,3,…,n)
Contoh 1.14. Berdasarkan contoh 1.11 tentukan peluang cd verbatim yang terambil berasal dari kotak ke-2.
P(B_2 |A)=(P(B_2 )P(A|B_2))/(P(A))
=(1/3×3/7)/(67/126)
=1/7×126/67
=126/469
=18/67


















Rangkuman

Semua kemungkinan yang dapat terjadi dari suatu percobaan adalah ruang sampel. Ruang sampel dinotasikan dengan huruf “S”.  sedangkan kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
A dan B adalah dua buah kejadian sembarang yang memiliki ruang sampel S, maka berlaku:
A∪B={x|x∈A atau x∈B}
A∩B={x|x∈A dan x∈B}
A^c={x|x∈S,x∉A}
Peluang adalah suatu ukuran dari kejadian.
P(A)=n(A)/n(S)
A adalah suatu kejadian sembarang yang berada di ruang sampel S
n(A) adalah banyaknya kejadian A.
n(S) adalah banyaknya kejadian S.
Untuk setiap kejadian A yang berada di dalam ruang sampel S, maka P(A) selalu memenuhi definisi berikut ini:
0≤P(A)≤1
P(S)=1
Untuk sembarang kejadian A_1,A_2,A_3,…,A_n yang saling lepas maka berlaku:
P(⋃_(i=1)^n▒A_i )=P(A_1 )+P(A_2 )+⋯+P(A_n )
Peluang bersyarat B jika diketahui A atau peluang kejadian B bersyarat A. cara menghitung P(B|A) adalah sebagai berikut:
P(B|A)=P(A∩B)/P(A) ,P(A)>0
Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika:
P(A∩B)=P(A)P(B)
Kejadian-kejadian B_1,B_2,B_3,…,B_n  dikatakan ruang partisi dari ruang sampel S, jika memenuhi:
B_i∩B_j=∅,i=1,2,3,..,n,j=1,2,3,…,n,i≠j
B_1∪B_2∪B_3∪…∪B_n=S
P(B_i )>0,∀i=1,2,3,…,n
Jika kejadian-kejadian B_1,B_2,B_3,…,B_n merupakan ruang partisi dari S, maka peluang dari kejadian yang sembarang dari S dan P(A)>0 dapat ditentukan menggunakan rumus:
P(B_i |A)=(P(B_i )P(A│B_i ))/P(A) ,i∈(1,2,3,…,n)